Jumps in the rank of the Mordell-Weil group / Sauts du rang du groupe de Mordell-Weil

Abstract: Let $k$ be a number field and $U$ a smooth integral $k$-variety. Let $X\rightarrow U$ be an abelian scheme. We consider the set $U(k)_+ \subset U(k)$ of $k$-rational points of $U$ such that the Mordell-Weil rank of the fibre $X_m$ is strictly bigger than the Mordell-Weil rank of the generic fibre over the function field $k(U)$.

We prove: if the $k$-variety $X$ is $k$-unirational, then $U(k)_+$ is dense for the Zariski topology on $U$. Variants are given and compared with old and new results in the literature.

Soient $k$ un corps de nombres et $U$ une a smooth integral $k$-variété lisse intègre. Soit $X\rightarrow U$ un schéma abélien. On s’intéresse à l’ensemble $U(k)_+ \subset U(k)$ des points rationnels $m \in U(k)$ tels que le rang de Mordell-Weil de la variété abélienne fibre $X_m$ soit strictement plus grand que celui de la fibre générique sur le corps des fonctions rationnelle $k(U)$.

On établit : si la $k$-variété $X$ est $k$-unirationnelle, alors $U(k)_+$ est dense dans $U(k)$ pour la topologie de Zariski. On donne des variantes, et on compare avec divers résultats dans la littérature classique et moderne.

algebraic geometrynumber theory

Audience: researchers in the topic

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ZORP (zoom on rational points)

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